简谐振动动力学

基础的方程：

−kx=md2xdt2d2xdt2+km⏟:=ω2x=0d2xdt2=−ω2xx=Asin⁡/cos⁡(ωt+φ)x=Aei(ωt+φ)简谐振动运动学振动是一种普遍存在的运动形式

物体的来回 往复运动（弹簧振子、单摆等）Vibration, Oscillation.

电流、电压的周期性变化

任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化----振动。

机械振动： 物体在一定位置附近作来回往复的运动

可以证明: 任何复杂的振动都可以认为是由若干个简单而又基本的振动的合成。这种简单而又基本的振动形式称为简谐振动。

简谐振动的运动规律

简谐振动：凡质点的运动遵从余弦（或正弦）规律时，其运动形式为简谐振动。

x=Acos⁡(ωt+φ)振幅 A Amplitude.

周期 T 完成一次全振动所经历的时间。

频率 ν：单位时间内完成全振动的次数。

角频率 ω

相位 Φ=(ωt+φ) 位置和速度仅仅由相位决定 x=Acos⁡Φ(t),v=−ωAsin⁡Φ(t)。φ：振动的初相位。

求出 φ,Φ：

φ=arctan⁡(−v0ωx0)Φ=arctan⁡(−vωx)相位差 对于两同频率的谐振动 Δφ=φ2−φ1 初相差。明确 φ2−φ1 在 −π∼π 之间。

同相和反相 Δφ=±2kπ 同相，Δφ=±(2k+1)π 反相。

超前和落后 若 0<φ2−φ1<π 则称 x2 超前与 x1.

这里 φ2=0,φ1=−π/2，因此 x2 超前于 x1。

速度和加速度

x=Acos⁡(ωt+φ)v=−ωAsin⁡(ωt+φ)=vmcos⁡(ωt+φ+π2)a=−ω2Acos⁡(ωt+φ)=vmcos⁡(ωt+φ±π)vm=ωA 称为速度幅，速度相位比位移超前 π/2。

am=ω2A 称为加速度幅，和位移反相。

旋转振幅矢量法

简谐振动动力学简写振动的动力学方程

受到线性恢复力 F=−kx，物体具有惯性。

d2xdt2+kmx=0⇒d2xdt2+ω2x=0完全的积分法：

d2xdt2=dvdt=vdvdx=−ω2x解为：

x=Acos⁡(ωt+φ)由初始条件 (x0,v0)：

A=x02+v02ω2φ=arctan⁡(−v0ωx0)怎么推的？

x0=Acos⁡(ωt+φ)|t=0=Acos⁡φv0=−ωAsin⁡(ωt+φ)|t=0=−ωAsin⁡φ因此

x02+v02ω2=A2(sin2⁡φ+cos2⁡φ)=A2⇒A=x02+v02ω2φ=arctan⁡(−v0ωx0)如果存在常力 F ？ 比如说重力或者电场力，位移振子。

md2xdt2=−kx+Fmd2dt2(x−Fk)=−k(x−Fk)令 X=x−x0,x0=F/k，得到

d2Xdt2+kmX=0满足 x=Acos⁡(ωt+φ)，也可以是受迫振动。

微振动的简谐近似单摆在小角摆动

以角度增加的方向为正方向。那么重力分力：f=−mgsin⁡θ。

由于 θ 很小，sin⁡θ≈θ，而且走过的弧长 s=lθ，那么

f=−mgls=−ks得到是简谐振动的形式，因此

ω=km=gl周期

T=2πlg复摆的小角摆动

定轴转动问题，固定 O 点，对应 z 轴。以角度增加的方向为正方向。

Mz=Jd2θdt2Mz=−mgrcsin⁡θ≈−mgrcθ因此

d2θdt2+ω2θ=0ω=mgrc/J如果复摆就是一个质点，得到 J=mrc2，代入，得到 ω=g/l。

设水平方向 C 投影离原点距离为 x，则 θ≈x/rc，得到

Ep(x)=mgrc(1−cos⁡θ)≈mgrcθ22=mgx22rc=12kx2为什么能够近似简谐振动？

在最低点 x 处泰勒展开。

Ep(x)≈Ep(0)+dEpdx⏟=0x+12d2Epdx2x2

对于板子，分析横向运动，需要分析摩擦力，因此需要分析支持力。选两个圆柱的中点为原点。

首先，受力平衡，得到 N1+N2=mg，其次不能发生转动，力矩平衡

N1(l+x)=N2(l−x)得到

N1=l−x2lmgN2=l+x2lmgf1−f2=ma⇒a=μm(N1−N2)=−xlμg得到

T=2πlμg如何判别简谐振动？

动力学方程形式：x¨+ω2x=0 动力学方程形式。F合=−k∗x+F0 线性回复力。E=12k∗x2+12M∗v2 能量的形式。

简谐振动的能量

动能 Ek=12mv2=12kAsin2⁡(ωt+φ)。

势能 Ep=12kx2=12kA2cos2⁡(ωt+φ)。

振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。

动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。

谐振动的总能量与振幅的平方成正比。也就是说：

E=12kA2A=2Ek=2E0mω2平行简谐振动的合成 振动频谱同方向同频率简谐振动的合成

某一质点同时参与两个独立的、同方向、同频率的简谐振动。

x1=A1cos⁡(ωt+φ1)x2=A2cos⁡(ωt+φ2)x1+x2=⋯?同方向不同频率两谐振动的合成 拍

振动的频谱分析

周期性振动可分解为一系列频率分立的简谐振动。

周期振动频率 ν0，各分振动的频率为 ν0,2ν0,3ν0⋯.

垂直简谐振动的合成同频率垂直简谐振动的合成

x=A1cos⁡(ωt+φ1)y=A2cos⁡(ωt+φ2)形成椭圆。

不同频率垂直简谐振动的合成

形成李萨如图形。

阻尼振动受到和速度成正比的阻力 fr=−γv.

运动方程：

−kx−γx˙=mx¨令 ω02=km,2δ=γm. 其中 δ 称为阻尼因子。当阻尼较小，即 δ<ω0 时，特征方程的解为复数 λ=−δ±ω02−δ2i，因此

x=A0e−δtcos⁡(ωt+φ0)ω=ω02−δ2T=2πω02−δ2>T0=2πω0速度随时间关系 v=v0e−2δ⋅t. 振幅随时间关系 A=A0e−2δ⋅t.

总路程 S=4∑i=0∞Ai=4A0∑i=0∞e−iβT=4A01−e−βT.

习题简谐振动的方程 −kx=md2xdt2 x¨+ω2x=0 F合=−k∗x+F0

如果不齐次，如 −kx+F0=md2xdt2，做变换 x′=x−F0k. 而且考虑问题在平衡位置附近比较好。

ω=km T=2π/ω. f=ω/2π.

最大位移 A 最大速度 Aω 最大加速度 Aω2

最大角度 θm 最大角速度 θ˙=θmω 最大角加速度 θ¨=θmω2

振动式：

x=Acos⁡(ωt+φ)振幅 A Amplitude.

周期 T 完成一次全振动所经历的时间。

频率 ν：单位时间内完成全振动的次数。

角频率 ω

相位 Φ=(ωt+φ)

简谐振动的能量 12mv2+12kx2=E=12kA2. Ek+Ep=E.

求导可得 mav+kvx=0⇒ma+kx=0.

微振动的近似 ω=mgrcJ=J=mrc2grc

证明体系做简谐振动

力学方法、受力分析：x¨+ω2x+C=0.

能量方法：利用机械能守恒。12mv2+12kx2=E=12kA2 12JCθ˙2+12mgrcθ2=E=12mgrcθm2